基本概念：

满二叉树：**层数(高度)**为H，总节点数为\(2^H-1\)的二叉树。（根节点在第1层，所有叶子节点都在第H层）。

此处认为满二叉树 == 完美二叉树。

有些地方存在另一种分类方法：完美(prefect)二叉树、完满(full)二叉树、完全(complete)二叉树。具体概念与上述满二叉树概念也有所区别，此处不做讨论。

本文所讨论的满二叉树对应上面的完美(prefect)二叉树，而不对应完满(full)二叉树。

而上述完满(full)二叉树实际对应王道考研书中的正则二叉树。

特点：

  • 第i层一定有\(2^{i-1}\)个节点。（根节点在第1层）
  • 前i层（1 ~ i层）节点数之和为\(2^i-1\)。

由前序遍历构建满二叉树

给定一个满二叉树的前序遍历数组，要求由该数组构建目标满二叉树，返回构建完成的满二叉树的根。然后输出该满二叉树的中序遍历。

C++实现：

一般来说，构造二叉树不能只用前序遍历，但这里给出了一个额外的条件，即该二叉树是满二叉树。我们可以利用这个额外的条件。

对满二叉树来说：前序遍历中根之后的元素数量（假设为n）应该是偶数（2 * 一个子树中的节点数，因为它是满二叉树）。根据前序遍历的特点：对同一个根节点，它的左子树的前序遍历一定在它的右子树的前序遍历之前。那么我们就可以找到左子树的前序遍历和右子树的前序遍历。

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#include <iostream>

struct Node {
    int data;
    Node *left, *right;
    Node(int val) {
        data = val;
        left = nullptr;
        right = nullptr;
    }
};

/**
 * @brief 由前序遍历构建满二叉树
 * @param preOrder 要构建的满二叉树的前序遍历
 * @param length 前序遍历的长度
 * @return 构建好的满二叉树的根节点
 */
Node *creat_full_binary_tree(int *preOrder, int length) {
    if (length == 0) {
        return nullptr;
    }
    Node *root = new Node(preOrder[0]);
    root->left = creat_full_binary_tree(preOrder + 1, (length - 1) / 2);
    root->right = creat_full_binary_tree(preOrder + 1 + (length - 1) / 2, (length - 1) / 2);
    return root;
}

void printInOrder(Node *root) {
    if (root == nullptr) {
        return;
    }
    printInOrder(root->left);
    std::cout << root->data << " ";
    printInOrder(root->right);
}

void destroy_binary_tree(Node *root) {
    if (root == nullptr) {
        return;
    }
    destroy_binary_tree(root->left);
    destroy_binary_tree(root->right);
    std::cout << "deleted: " << root->data << std::endl;
    delete root;
}

int main() {
    int arr[] = {1, 2, 4, 5, 3, 6, 7};
    int size = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    Node *root = creat_full_binary_tree(arr, size);
    printInOrder(root);
    destroy_binary_tree(root);

    return 0;
}

正确输出：

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